Đôi khi, cần tính toán các đại lượng được định nghĩa dưới dạng các tích phân trên một thể tích nhất định. Simcenter STAR-CCM+ có thể tính toán dễ dàng các tích phân thể tích đối với bất kỳ trường vô hướng nào, khi có lưới của phần thể tích. Tuy nhiên, đôi khi thể tích cần tính toán lại không có sẵn trong mô phỏng.
Bài viết này sẽ chỉ ra cách mà một tích phân thể tích có thể được thay thế (hoặc đôi khi chỉ được xấp xỉ) bằng một tích phân bề mặt sử dụng định lý Gauss, với ví dụ cụ thể là Trọng tâm lực nổi (Centre of Buoyancy - CoB) của một con tàu.
Hãy xem xét một mô phỏng về tàu như trong hình trên. Mô phỏng DFBI có thể tính toán các lực động và chuyển động của tàu khi nó di chuyển qua nước. Điều này giúp các kỹ sư theo dõi một số đại lượng liên quan đến chuyển động của tàu. Một trong những điểm quan trọng là Trọng tâm lực nổi (CoB).
CoB là trọng tâm của phần tàu chìm trong nước, tức là trọng tâm của thể tích nước bị dịch chuyển 
. Các tọa độ của CoB được tính như sau:
Hình bên trái dưới đây cho thấy thể tích chìm của tàu. Nếu thể tích này có lưới thể tích (mesh), việc tính toán các tích phân thể tích trên đó sẽ rất trực tiếp nhờ vào Volume Integral Reports. Tuy nhiên, thể tích chìm sẽ thay đổi khi tàu di chuyển qua nước, và lưới thể tích bên trái sẽ phải được tái tạo lại thường xuyên. Ngoài ra, chỉ có chất lỏng xung quanh tàu, như trong hình bên phải, thường được tạo lưới.
1. Định Lý Gauss
Thông thường, vị trí của CoB sẽ được ước tính thông qua công thức thực nghiệm. Tuy nhiên, chúng ta có thể tính toán nó bằng cách sử dụng tư thế tức thời của tàu từ mô phỏng và chuyển đổi các tích phân thể tích định nghĩa tọa độ thành tích phân bề mặt. Định lý Gauss phát biểu như sau:
Trong đó:
là vector pháp tuyến của bề mặt S.Định lý này đúng đối với bất kỳ trường vector 
là liên tục).
Nếu chúng ta có thể tìm ra một trường vector 
, chúng ta có thể thay thế tích phân thể tích bằng một tích phân bề mặt trong tử số của tọa độ CoB.
2. Tìm Trường Vector
Để tính toán tử số của CoB_x, ta viết rõ ràng các thành phần 3D của 
:
Sau đó, ta có 
như mong muốn. Hơn nữa, trên phần bề mặt thiếu lưới (mesh-missing surface), 
, điều này đảm bảo rằng kết quả sẽ là một xấp xỉ tốt của giá trị thực.
3. Tìm Trường Vector f Cho Tử Số của CoB_y, CoB_z, và Cho Mẫu Số
Để tính toán tử số của CoB_y, ta có thể chọn:
Tương tự, để tính toán tử số của CoB_z, ta có thể chọn:
Cho mỗi trường hợp này, ta có
, như yêu cầu.
4. Tính Toán Trung Tâm Lực Nổi Tức Thời Trong STAR-CCM+
1. Lấy bề mặt chìm tức thời từ mô phỏng.
2. Tạo một Threshold Derived Part mới: Đặt các phần tử đầu vào là vỏ tàu, trường vô hướng là Volume Fraction of Water, và chế độ là tất cả các giá trị trên 0.5. Đổi tên thành Submerged Surface.
3. Tạo các Field Functions mà chúng ta cần để tích phân:
Tạo 4 Field Functions đại diện cho các trường hợp 
.
|
Field Function name |
Definition |
|
CoB_x_num |
dot([0.5*$${Position}[0]*$${Position}[0], 0, 0], -$${Normal}) |
|
CoB_y_num |
dot([$${Position}[1] *$${Position}[0], 0, 0], -$${Normal}) |
|
CoB_z_num |
dot([$${Position}[2] *$${Position}[0], 0, 0], -$${Normal}) |
|
Vsub |
dot([$${Position}[0], 0, 0], -$${Normal}) |
4. Tạo báo cáo Surface Integral để tích phân các Field Function qua bề mặt chìm 
.
|
Surface Integral Report name |
|
CoB_x_num |
|
CoB_y_num |
|
CoB_z_num |
|
Vsub |
Bài viết này đã chỉ ra cách tính toán trung tâm lực nổi (CoB) của tàu mà không cần lưới thể tích. Thay vào đó, chúng ta có thể sử dụng định lý Gauss để thay thế tích phân thể tích bằng tích phân bề mặt. Mặc dù mặt chìm không có lưới, ta vẫn có thể sử dụng các trường vector thích hợp để đảm bảo kết quả tính toán chính xác.
